菩提寺があれば、たとえ遠方であってもまず菩提寺に相談するのが原則です。
多くの場合には、遠方でも来ていただけると思います。
その際には、通常のお布施に加えて、宿泊費、交通費を負担することは当然です。もし、菩提寺のご住職が都合がつかない場合には、菩提寺から地元の寺院（僧侶）を紹介して頂くとよいでしょう。
万一、地元のお寺様を紹介して頂けないケースでは、ご住職の了解を得た上で葬儀社に同じ宗派の僧侶を紹介してもらうことも可能です。そして、紹介された僧侶に依頼する場合は、戒名（法名）を事前に菩提寺からお送りいただくか、あるいは葬儀の際には俗名のまま済ませ後日、納骨の際に菩提寺のご住職につけていただくことになります。

最近母が亡くなり、私（長男）が家の跡取りとしてお寺とのつきあいがはじまりました。お寺の住職や奥さんのことを何と
お呼びしてよいかわかりません。我が家は、浄土真宗です。母は住職を「ごいんげさん」と呼んでいたようですが？

浄土真宗では、ご住職の呼称を「御院主様（ごいんじゅさま）」と言います。略称で「ご院さん」と呼ぶことも多いようです。また、地域により多少違いが有り、北九州ではお母様が言っておられた「ご院家さん（ごいんげさん）」が多いようです。このほか一般的呼称である「ご住職」とお呼びしてもよいですが、「和尚さん」とは呼びませんので気を付けてください。
次に、お寺のご家族に対する呼称ですが、次代を担う息子さんのことを「若院家（わかいんげ）」又は「若院さん（じゃくいんさん）」と言い、奥様は「坊守さん（ぼうもりさん）」と呼びます。
最初のうちは、慣れない言葉で呼びにくいかもしれませんが、お寺様の御一家とのおつきあいを重ねていくうちに、いつかお母様のように「ごいんげさん」と自然に呼べる日が来ると思います。
その時は、あなた自身も名実共に浄土真宗のご門徒さん（門信徒）になっておられるのでしょうね。

お坊さん（寺院）には、御布施をどのくらい包めば良いのですか？そして、お渡しするのはいつですか？

御布施の金額は宗派や寺院によっても異なりますし、菩提寺およびご住職とのお付き合いの度合いやその関係性、さらには宗教心やご葬家の経済状態によっても違ってきます。
お布施は、相場的な発想で考えるのではなく、喪主の状況や環境、故人との続柄、葬儀に対する考え方等々をしっかりご住職に伝えた上で、できる範囲の金額で考える事が望ましいといえます。
そのようなお願いの仕方（葬儀の依頼時）であれば、ご住職の方もこころよく御導師を勤めてくださると思います。
したがって、ここでは一概にどのくらい包めば良いかは申せませんが、ご遺族の負担も考慮しながら状況に応じたアドバイスをさせて頂きますので一度詳しくご相談ください。お布施の内訳としては、・枕経（臨終勤行）・お通夜・葬儀と、この３度のお勤めを一連の御布施としてお包みします。（その都度、用意してお渡しする必要はありません）
この他に、脇導師の御布施・御車料・御膳料・院号料（戒名料）などが状況に応じて必要となります。
又、葬儀当日に繰り上げて初七日法要を営まれる場合は、別に「初七日御布施」として用意します。
そして、御布施をお渡しするタイミングとして最近では初七日法要の後にお渡しする方が多いようですが、葬儀後一週間以内を目安にして主なご遺族の方々で寺院へ出向かれてお渡しする方がより丁寧に思われます。
その際には、今後の法要日程や納骨などのご相談をされると良いでしょう。

生きているうちに戒名をいただけるのですか？

戒名（宗派により法名・法号など）は、み仏のお弟子になった時にいただく名前です。
また、仏教に帰依したという意味ですので生きているうちにいただいてもまったく差し支えありません。
本来の信仰心からいうなら生前に授かる方がより望ましいと言えます。その際は、菩提寺のご住職に申し出られてください。また、希望する文字や俳号などがございましたら相談されるとよいでしょう。